Ese comportamiento se debe a cómo cada navegador maneja la política de seguridad del mismo origen (Same-Origin Policy, SOP) y las cookies en iframes.

Posibles causas: Manejo de cookies de terceros Edge permite automáticamente las cookies en iframes del mismo origen.
Firefox, por defecto, bloquea o restringe cookies de terceros, lo que puede afectar la autenticación en iframes, incluso si son del mismo origen.

Política de restricción de cookies (Total Cookie Protection en Firefox) Firefox tiene una característica llamada Total Cookie Protection, que aísla cookies por sitio, lo que puede impedir la autenticación en un iframe.

Encabezados de seguridad (SameSite, CORS, etc.) La configuración de SameSite en las cookies puede afectar la autenticación en un iframe.
Si las cookies están configuradas como SameSite=Lax o SameSite=Strict, no se enviarán en una solicitud de iframe.

Podrías probar en la consola de Firefox si las cookies de autenticación se están bloqueando Puedes verificarlo en la pestaña Almacenamiento de las herramientas para desarrolladores (F12).